Задача о редакционном расстоянии, алгоритм Вагнера-Фишера

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Определение:
Расстояние Левенштейна (также редакционное расстояние или дистанция редактирования) между двумя строками в теории информации и компьютерной лингвистике — это минимальное количество операций вставки одного символа, удаления одного символа и замены одного символа на другой, необходимых для превращения одной строки в другую.


Содержание

 [убрать

[править] Свойства

Для расстояния Левенштейна справедливы следующие утверждения:

  • \rm{d}(S_1,S_2) \ge | |S_1| - |S_2| |
  • \rm{d}(S_1,S_2) \le max( |S_1| , |S_2| )
  • \rm{d}(S_1,S_2) = 0 \Leftrightarrow S_1 = S_2

где \rm{d}(S_1,S_2) — расстояние Левенштейна между строками S_1 и S_2, а |S| - длина строки S.

[править] Разные цены операций

Цены операций могут зависеть от вида операции (вставка, удаление, замена) и/или от участвующих в ней символов, отражая разную вероятность разных ошибок при вводе текста, и т. п. В общем случае:

  • w(a, b) — цена замены символа a на символ b
  • w(ε, b) — цена вставки символа b
  • w(a, ε) — цена удаления символа a

Для решения задачи о редакционном расстоянии, необходимо найти последовательность замен, минимизирующую суммарную цену. Расстояние Левенштейна является частным случаем этой задачи при

  • w(a, а) = 0
  • w(a, b) = 1 при a≠b
  • w(ε, b) = 1
  • w(a, ε) = 1

Как частный случай, так и задачу для произвольных w, решает алгоритм Вагнера — Фишера, приведённый ниже. Здесь и ниже мы считаем, что все w неотрицательны, и действует правило треугольника: если две последовательные операции можно заменить одной, это не ухудшает общую цену (например, заменить символ x на y, а потом с y на z не лучше, чем сразу x на z).


[править] Формула

Будем считать, что элементы строк нумеруются с первого, как принято в математике, а не нулевого.

Пусть S_1 и S_2 — две строки (длиной M и N соответственно) над некоторым алфавитом, тогда редакционное расстояние \rm{d}(S_1, S_2) можно подсчитать по следующей рекуррентной формуле:

\ \rm{d}(S_1, S_2) = \rm{D}(M,N) , где

\rm{D}(i, j) = \left\{\begin{array}{llcl} 0&&;&i = 0,\ j = 0\\ i&&;&j = 0,\ i > 0\\ j&&;&i = 0,\ j > 0\\ D(i - 1, j - 1)&&;&S_1[i] = S_2[j]\\ \rm{min}(\\ &\rm{D}(i, j - 1) + insertCost\\ &\rm{D}(i - 1, j) + deleteCost&;&j > 0,\ i > 0,\ S_1[i] \ne S_2[j]\\ &\rm{D}(i - 1, j - 1) + replaceCost\\ ) \end{array}\right.,

\min(a, b, c) возвращает наименьший из аргументов.

[править] Доказательство

Рассмотрим формулу более подробно. Здесь D(i, j) — расстояние между префиксами строк: первыми i символами строки S_1 и первыми j символами строки S_2. Очевидно, что редакционное расстояние между двумя пустыми строками равно нулю. Так же очевидно то, что чтобы получить пустую строку из строки длиной i, нужно совершить i операций удаления, а чтобы получить строку длиной j из пустой, нужно произвести j операций вставки. Осталось рассмотреть нетривиальный случай, когда обе строки непусты.

Для начала заметим, что в оптимальной последовательности операций, их можно произвольно менять местами. В самом деле, рассмотрим две последовательные операции:

  • Две замены одного и того же символа — неоптимально (если мы заменили x на y, потом y на z, выгоднее было сразу заменить x на z).
  • Две замены разных символов можно менять местами
  • Два стирания или две вставки можно менять местами
  • Вставка символа с его последующим стиранием — неоптимально (можно их обе отменить)
  • Стирание и вставку разных символов можно менять местами
  • Вставка символа с его последующей заменой — неоптимально (излишняя замена)
  • Вставка символа и замена другого символа меняются местами
  • Замена символа с его последующим стиранием — неоптимально (излишняя замена)
  • Стирание символа и замена другого символа меняются местами

Пускай S_1 кончается на символ «a», S_2 кончается на символ «b». Есть три варианта:

  1. Символ «а», на который кончается S_1, в какой-то момент был стёрт. Сделаем это стирание первой операцией. Тогда мы стёрли символ «a», после чего превратили первые i-1 символов S_1 в S_2 (на что потребовалось D(i-1,\ j) операций), значит, всего потребовалось D(i-1,\ j)+1 операций
  2. Символ «b», на который кончается S_2, в какой-то момент был добавлен. Сделаем это добавление последней операцией. Мы превратили S_1 в первые j-1 символов S_2, после чего добавили «b». Аналогично предыдущему случаю, потребовалось D(i,\ j-1)+1 операций.
  3. Оба предыдущих утверждения неверны. Если мы добавляли символы справа от финального «a», то чтобы сделать последним символом «b», мы должны были или в какой-то момент добавить его (но тогда утверждение 2 было бы верно), либо заменить на него один из этих добавленных символов (что тоже невозможно, потому что добавление символа с его последующей заменой неоптимально). Значит, символов справа от финального «a» мы не добавляли. Самого финального «a» мы не стирали, поскольку утверждение 1 неверно. Значит, единственный способ изменения последнего символа — его замена. Заменять его 2 или больше раз неоптимально. Значит,
    1. Если a=b, мы последний символ не меняли. Поскольку мы его также не стирали и не приписывали ничего справа от него, он не влиял на наши действия, и, значит, мы выполнили D(i-1,\ j-1) операций.
    2. Если a\ne b, мы последний символ меняли один раз. Сделаем эту замену первой. В дальнейшем, аналогично предыдущему случаю, мы должны выполнить D(i-1,\ j-1) операций, значит, всего потребуется D(i-1,\ j-1)+1 операций.

[править] Алгоритм Вагнера — Фишера

Для нахождения кратчайшего расстояния необходимо вычислить матрицу D, используя вышеприведённую формулу. Её можно вычислять как по строкам, так и по столбцам. Псевдокод алгоритма, написанный при произвольных ценах замен, вставок и удалений (важно помнить, что элементы нумеруются с 1):

D(0,0) = 0
для всех j от 1 до N
  D(0,j) = D(0,j-1) + цена вставки символа S2[j]
для всех i от 1 до M
  D(i,0) = D(i-1,0) + цена удаления символа S1[i]
  для всех j от 1 до N
    D(i,j) = min(
       D(i-1, j) + цена удаления символа S1[i],
       D(i, j-1) + цена вставки символа S2[j],
       D(i-1, j-1) + цена замены символа S1[i] на символ S2[j]
    )
вернуть D(M,N)

[править] Память

Алгоритм в виде, описанном выше, требует \Theta(M \cdot N) операций и такую же память, однако, если требуется только расстояние, легко уменьшить требуемую память до \Theta(\min(M,N)). Для этого надо учесть, что после вычисления любой строки предыдущая строка больше не нужна. Более того, после вычисления D(i, j) не нужны также D(i-1,0) … D(i-1,j-1). Поэтому алгоритм можно переписать как

для всех i от 0 до M
  для всех j от 0 до N
    вычислить D(i, j)
    если i>0 и j>0
      стереть D(i-1, j-1)
вернуть D(M, N)

[править] Редакционное предписание

Редакционным предписанием называется последовательность действий, необходимых для получения из первой строки второй кратчайшим образом. Обычно действия обозначаются так: D (англ. delete) — удалить, I (англ. insert) — вставить, R (англ. replace) — заменить, M (англ. match) — совпадение.

Например, для 2-х строк «hell123» и «hello214» можно построить следующую таблицу преобразований:

M M M M R M R I
h e l l 1 2 3
h e l l o 2 1 4

[править] Литература

Wikipedia - Levenshtein distance

Романовский И.В. "Дискретный анализ". Третье издание. Стр. 103 - 105

Личные инструменты
Пространства имён
Варианты
Действия
Навигация
Инструменты